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Cómo estudiar sistemas multidimensionales – BCFocus

Vivimos en un mundo con tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal. Esto significa que para determinar una ubicación exacta en la Tierra en un momento dado, solo necesitamos cuatro valores: las tres coordenadas (latitud, longitud y altitud) y una marca de tiempo. En el universo matemático, el concepto de dimensión es mucho más general y es común trabajar con sistemas de muchas dimensiones o incluso infinitas.

Esta noción nada tiene que ver con la idea —tan cultivada en la ciencia ficción— de universos paralelos, donde una realidad alternativa se despliega más allá de nuestra percepción. Matemáticamente, las dimensiones son una construcción teórica que simplemente describe varias facetas de algo. En mecánica, la rama de la física que estudia el movimiento y las fuerzas que lo generan, las dimensiones son la cantidad de información necesaria para describir un sistema. Por ejemplo, un péndulo puede verse como un sistema bidimensional, llamado espacio de fase , ya que para describir el movimiento del péndulo en cualquier momento solo es necesario conocer el ángulo

Para describir sistemas físicos más complejos, con más cuerpos o con más iteraciones, es necesario recurrir a más espacios de fase. complicados, como los que modelan un sistema planetario, por ejemplo. Estos espacios tienen una estructura geométrica específica, denominada variedad simpléctica . El estudio de estas variedades y sus propiedades ha sido un tema de interés en diversas áreas de la matemática y la física, incluida la llamada mecánica geométrica.

La mecánica geométrica se ocupa de las aplicaciones de la geometría a la mecánica y permite reducir sistemas complicados de muchas dimensiones –como variedades simplécticas– a otros con los que es más fácil trabajar, ya que, en lugar de observar cada interacción o movimiento por separado, las características globales del sistema se observan y hace uso de ellos para transformar el problema en uno más simple.

Para ello, el primer paso es identificar las “simetrías” del sistema, es decir, las transformaciones que lo dejan invariante. Con ellos es posible reducirlo y así estudiarlo de una forma más sencilla, como propone Emmy Noether en su famoso teorema. Si el teorema de Noether relaciona cada simetría del sistema con una cantidad conservada, la llamada aplicación de momento , incorpora, al mismo tiempo, todas estas relaciones —simetría / cantidad conservada— del sistema.

A principios de la década de 1980, varios investigadores se dieron cuenta de que, además, esta aplicación permitía traducir el espacio de fases en un objeto más simple, llamado politopo, que son la generalización a cualquier dimensión de los polígonos. Estas formas tan simples —y discretas— permitieron por tanto interpretar propiedades de sistemas muy complicados. Funcionan de forma similar a Google Maps: ofrecen una imagen, plana y muy fácil de entender, para representar un mundo, complejo y con más dimensiones, al que nos enfrentamos.

Un ejemplo de politopo es el rectángulo de la imagen inferior. Representa un sistema formado por tres objetos que se mueven en relación entre sí, en un espacio de ocho dimensiones. En particular, indica cuando estos tres objetos se mueven de forma alineada, en ángulo recto y cuando el espacio reducido del sistema, es decir, el que obtenemos después de aplicar nuestros conocimientos sobre las simetrías, es una esfera u otra forma geométrica. Además, muestra cuando los tres cuerpos se mueven de forma estable o más caótica.

Este politopo, propuesto en resultados de investigaciones recientes, está relacionado con sistemas que aparecen en la investigación en robótica, termodinámica y teoría de campos multidimensionales. De hecho, una de las razones del éxito de la mecánica geométrica es que tiene numerosas aplicaciones: se utiliza para el diseño de misiones interplanetarias, en anatomía computacional, en el diseño de vehículos submarinos, satélites, en robótica, en telecomunicaciones, en la estudiar el calentamiento global… La lista es enorme.

Amna Shaddad es investigadora Marie Curie en el Instituto de Ciencias Matemáticas ( ICMAT)

Ágata Timón G Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática de ICMAT

Café y teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y el entorno en el que se crea, coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que investigadores y miembros del centro describen los últimos avances en esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otros y expresiones culturales y recordemos a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar el café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma el café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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